也来答一下。保持以前的答题风格,目标是让门外汉快速了解最简单的麦考雷久期,并把这个抽象的概念形象化起来,方便大家理解和记忆~

下面我会先介绍两个“久期”相关的前导知识,然后展开讲述“久期”。


一、前导知识:债券的生命轨迹

购买债券获得收益的基本过程很简单:

1、一开始投入了一笔钱,买入债券;

2、按照债券票面的约定,定期给我利息;

3、等到债券到期,会将本金连同最后一期的利息一并给我。

现在假设我花1000元买了个债券。按照这支债券的约定,债券期限为4年,每年给我利息10元,最后1年将本金连同最后一期的利息一并给我。

我们在一个时间轴上把债券的生命轨迹画下来:

好啦,注意上面这个“时间轴”,后面我们讲解时会经常用到它。


二、前导知识:钱的时间价值

你手里有1000块钱,假设1年定期存款的利率是2%,那么存成定期存款后,1年后你会有1020元(为了简化,所以省略了政策风险和息税,直接本金乘以利率了)。

也就是说,你手上的1000块,不做任何理财、股票投资、债券投资……至少至少会变成1020块。

所以,随着时间的延长,你手里的钱是必然会增加的。

钱的时间价值也就从这里体现出来了。

好了,现在稍微复杂一些,我们倒过来想想,如果1年后我预计会有100块收入,那未来这100块按照2%的利率倒算至现在,应该是多少钱呢?

假设倒算至现在的钱数是X,那么X\times (1+2%)=100(元),解出X约为98元。

所以,如果你预计1年后能拿到100块,其实这笔钱算到现在也就值98块钱。

或者说换一种说法,你1年后能拿到的100块,其实与你今天的100块是不一样的,它只相当于今天的98块。

这个X(X=100/(1+2%)),在金融中有个专门的名词,叫做:现值(现在的价值),用字母PV表示(Present Value),而这个2%,就称为:折现率!

好了再复杂一点,如果假设2年的定期存款利率也是2%,那么100元存2年,拿到的本息就是:

100\times (1+2%)^2

那么,继续假设:我两年后会收到100元,这100元折算成现在的现值PV是多少呢?

聪明如你肯定已经想到了,是:PV=100/(1+2%)^2

3年、4年的情况也就不赘述了。

最后,再复杂一点!

举上面债券的例子:

假设银行定期存款存多少年都是2%的年利率。那么,我买了上面这只债券,第一年会收到10元,第二年会收到10元,第三年会收到10元,第四年会收到1010元。我预计收到的这些钱,折成现值是多少钱呢?

现值PV=10/(1+2%)+10/(1+2%)^2 +10/(1+2%)^3 +1010/(1+2%)^4


三、麦考雷久期

有点小兴奋,进入正题了。

要理解麦考雷久期的本质,就需要先理解债券的本质。

我们在第一节简单讲过债券:我在期初投入一笔钱买债券,定期会收到回款(利息),最后发债人将我的本金和最后1期利息都还给我。

所以购买债券,我们主要会关注两个事情,一是每期还多少钱,二是多长时间还完(为了简单,一些债券信用风险方面的事情我们不再考虑了)。

对于第一件事情,债券票面就已经说明了每年会还多少利息。承诺的利息越高,回款金额也就越多;

对于第二件事情,用什么来衡量呢?这时麦考雷久期闪亮登场了。麦考雷久期的定义是:使用加权平均数的形式计算债券的平均回款时间。怎么理解呢?

首先,我们来看两个债券:

债券一是上文中提到的债券。债券二则是一个新债券,这个债券有点特殊,按照这支债券的约定,第1-3年并不支付利息,直到第4年连本带利结清。

这两个债券,后面回款的金额加总后都是1040,那么如果你是一个投资者,你会买哪个呢?

冥冥中,你选择了第一个……

为什么你不选择第二个?第六感告诉你,资金早早落袋为安最好。第一个债券每年能拿回10元,而第二个债券直到最后1年才能见着钱。我当然选择第一个债券了!

但是,这种“定性”的判断并不精准,因为下面这种情况你就无所适从了:

可以看到,上面两个债券中,第二个债券是两年付一次利息,与上面那只一年付一次利息的债券相比,第一年回款少、第二年回款多、第三年回款少、第四年回款多……

这种情况下选哪个债券投资合适呢?!崩溃!!!

所以,我们需要用麦考雷久期对回款时间进行“定量”的更加精准的测算。


从麦考雷久期的定义,我们了解到它是衡量债券回款时间的指标。那债券的回款时间怎么计算呢?我们就来研究一下下面这个债券的回款时间:

这支债券,我们总共用了4年时间进行回款,并且,总共回款了1040元。

我们用了1年的时间回款了1040元中的10元(见下图),所以我们把这1年加一个权重\frac{10}{1040}

我们用了2年的时间回款了1040元中的10元(见下图),所以我们把这2年加一个权重\frac{10}{1040}

我们用了3年的时间回款了1040元中的10元(见下图),所以我们把这3年加一个权重\frac{10}{1040}

我们用了4年的时间回款了1040元中的1010元(见下图),所以我们把这4年加一个权重\frac{1010}{1040}


好了,有了上面的分析,那么这个回款的总时间为多少呢?很显然,回款总时间为:

1年\times \frac{10}{1040} +2年\times \frac{10}{1040} +3年\times \frac{10}{1040} +4年\times \frac{1010}{1040}\approx 3.9423年

讲到这里,计算回款时间的逻辑你是否已经清楚了?





然而!

这真的是准确的回款时间吗?!





别忘了,前面提到了钱是有时间价值的。

所以,这里的计算稍稍有些不准确了!回顾前面我们讲的钱的时间价值,第一年的10元、第二年的10元、第三年的10元,他们的实际价值并不相等,这就造成了上面“年数\times 权重”中的权重不够准确。如何将它修正准确呢?

我们把所有年份的回款,全部折算成“现在”这个时点的现值,问题就迎刃而解了。

因为这样所有的钱都还原到了同一时间点,才具有可比性:


在这个背景下,我们先计算出回款总金额的现值PV(假设折现率为2%):

PV=10/(1+2%)+10/(1+2%)^2 +10/(1+2%)^3 +1010/(1+2%)^4

然后,我们开始逐年分析:

我们用了1年的时间回款了10元,这10元的现值是10/(1+2%),所以准确的权重为:

\frac{10/(1+2\%)}{PV}

我们用了2年的时间回款了10元,这10元的现值是10/(1+2%)^2 ,所以准确的权重为:

\frac{10/(1+2\%)^2}{PV}

我们用了3年的时间回款了10元,这10元的现值是10/(1+2%)^3 ,所以准确的权重为:

\frac{10/(1+2\%)^3}{PV}

我们用了4年的时间回款了1010元,这1010元的现值是10/(1+2%)^4 ,所以准确的权重为:

\frac{1010/(1+2\%)^4}{PV}

所以,最后我们终于可以得到准确的回款时间了,它是:

1年\times \frac{10/(1+2\%)}{PV} +2年\times \frac{10/(1+2\%)^2}{PV} +3年\times \frac{10/(1+2\%)^3}{PV} +4年\times \frac{1010/(1+2\%)^4}{PV}\approx 3.9396年


好了,我们把上面这个准确回款时间的公式提炼一下,就变成:

其中,权重W_{t}


上面公式中的回款时间D,就是麦考雷久期。看到其他答案中还有英文版的公式解读,引用一下,也非常清楚:



我相信讲到现在,你应该已经理解“麦考雷久期”的本质了。


最后,如果有兴趣,你可以用麦考雷久期比较一下这两个债券,哪个回款时间更短、更值得投资~


想知道答案可以关注我的公众号:金融极客,我们一起交流哈~

weixin.qq.com/r/CEVYQBv (二维码自动识别)


(完)


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